Беседка

Частица НЕ с деепричастиями пишется раздельно, кроме тех деепричастий, которые образованы от глаголов, не употребляющихся без НЕ. Глагол «класть» к таким не относится, поэтому фразеологизм «не покладая рук» пишется раздельно.

Посему: не покладая рук, мы работали весь день
Но: ненавидя холод, он закутался.

Собственно, о глаголах, не употребимых без НЕ.
Негодовать, ненавидеть, неволить, несдобровать, и т.д